Pourquoi modéliser ses résultats d’étalonnage ?

Actuellement, la majorité des certificats d’étalonnage émis par les laboratoires de métrologie ne présentent qu’un tableau de valeurs contenant des écarts et des incertitudes. C’est effectivement le moins qu’on puisse attendre de ce type de document mais cela ne répond pas pleinement à la définition de l’étalonnage telle qu’elle est donnée dans le VIM version 3. La dernière étape de l’étalonnage, à savoir la modélisation, est donc laissée à la charge du client.

Interpolation vs Modélisation

Imaginons que nous avons fait étalonner un thermomètre de 0 à 50°C tous les 10°C. En utilisant le certificat d’étalonnage, nous connaîtrons la correction à apporter à la lecture du thermomètre lorsque celui-ci indique 0, 10 ou 20°C. Mais lorsqu’il indique 25°C ou 33,6°C ?
Plusieurs méthodes d’interpolation existent pour calculer une valeur comprise entre 2 points d’étalonnage. La moyenne de 2 points consécutifs i et i+1 :
formule math 1

L’erreur correspondante est égale à la moitié de l’écart entre Ci et Ci+1, ce qui est pénalisant lors de l’estimation de l’incertitude si la pente est importante.
Le segment entre 2 points consécutifs (C corrections, T températures) :
formule math 2

L’inconvénient majeur de ces méthodes est qu’elles ne s’appuient que sur 2 points au lieu d’utiliser toute l’information disponible. On peut aussi émettre un doute quant à leur capacité à offrir une représentation fiable de la réalité.

La modélisation, quant à elle, a pour but d’établir une relation mathématique permettant d’interpoler les points d’étalonnage sur une plage de mesure, c’est-à-dire de déterminer la correction à apporter quelle que soit la température affichée. Précisons au passage que la modélisation ne permet pas d’extrapoler. En effet, l’utilisation d’une loi mathématique pour corriger la lecture d’un instrument peut faire oublier les limites que sont les points d’étalonnage mini et maxi qui encadrent la « plage d’étalonnage », elle-même n’étant pas forcément égale à l’étendue de mesure : on peut tout à fait choisir d’étalonner un instrument sur une partie de son étendue de mesure mais il ne faut pas oublier que la traçabilité métrologique n’est pas assurée en dehors de la plage d’étalonnage et ce n’est pas une équation de correction qui y changera quelque chose.

Quel modèle ?

La tentation peut être de choisir un modèle passant par tous les points d’étalonnage ; le plus simple étant celui qui relie 2 points consécutifs par un segment (Figure 1).

figure 1

Figure 1 – Modélisation par segments

La fonction est alors une succession de segments reliant bien tous les points, mais malheureusement sans lien avec la réalité du phénomène. Une telle fonction mathématique n’a aucun sens physique ! Or il est indispensable, tout au long du processus d’étalonnage de garder le lien avec l’aspect physique du phénomène en jeu.

Pour pouvoir envisager une autre solution, souvenons-nous qu’une valeur d’étalonnage n’est pas une valeur vraie mais seulement une espérance, c’est-à-dire une valeur probable se trouvant dans un intervalle de doute correspondant à un certain niveau de confiance.

figure 2

Figure 2 Méthode des moindres carrés


Un modèle qui passerait suffisamment près des points (dans les intervalles d’incertitude) pourrait donc convenir pourvu qu’il soit réaliste (interprétable physiquement).

Classiquement, le choix se porte sur la méthode des moindres carrés qui a la particularité de minimiser la somme quadratique des résidus (écarts entre les points expérimentaux et le modèle). On abandonne ainsi le modèle le plus juste mathématiquement pour le plus probable physiquement (cf. Figure 2). Mais là encore, il convient de prendre quelques précautions quant au choix du degré de la régression polynômiale.

Quel degré ?

On sait que le nombre de points ne peut être que supérieur au degré du polynôme : il faut au moins 2 points tracer une droite, 3 points pour construire une parabole…
Ici, ce seul critère est insuffisant. Un polynôme de degré 2 calculé sur 3 points passe forcément par ceux-ci mais ne sera pas pertinent ; rappelons que les points ne sont pas l’image de la vérité mais seulement une estimation, c’est-à-dire que le modèle est construit sur l’information minimale disponible sachant que celle-ci est entachée de doute ; il n’y a pas d’effet moyennant.
figure 4
La règle qui s’impose alors naturellement est que le degré du modèle choisi soir inférieur à n-2, n étant le nombre de points d’étalonnage.
Le cas limite n=2 indique qu’à partir de cette valeur, la modélisation n’a plus de sens. On pourra, pour n=2, conserver la méthode du segment tout en gardant à l’esprit que, même si la théorie nous dit que 2 points suffisent à caractériser une droite, en réalité cela reste insuffisant tant que la linéarité n’a pas été démontrée.

Pour autant, la règle ne signifie pas que le bon degré est d = n-2 mais d < n-2, il reste donc au métrologue/utilisateur à faire un choix sur le degré qui lui semble le plus raisonnable en fonction de sa connaissance du phénomène. Autre exemple : [caption id="attachment_6683" align="aligncenter" width="685"]figure 5 et 6Figure 5 Polynôme de degré 3 – Figure 6 Polynôme de degré 2[/caption]

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